Mock Locationアプリを閉じたりスマートフォンを再起動したりしても、ルートは続きますか？
はい。アプリを閉じても、画面をオフにしても、再起動しても、アプリをアップデートしても、移動は同じ場所から続きます。リセットされるのは「終了」と偽装をオフにしたときだけです。
ルートを動かしているのは開いた画面ではなく偽装のバックグラウンドサービスで、地点の位置を定期的に保存しています。再起動後、スマートフォンのロックを解除するまでは、地点は最後に保存された場所に止まります。ロックを解除するまでは、システムがアプリのファイルを読めないためです。ロックを解除すると移動が続きます。
移動中の検索、お気に入り、履歴は、場所を表示するだけです（「そこへ移動するには、ルートを終了してください」）。ファームウェアがサービスを終了させないよう、Xiaomi のガイド やお使いのファームウェアのガイドに従って自動起動とバッテリーを設定してください。